強度計算･実践への一歩　2011-12-21 Mori design office
求積法の結果比較
　
有限要素法による応力解析において、２重積分の部分に適応させるガウス・ルジャンドル求積法に関し、４点の求積法の場合と
９点の求積法の場合 との計算結果を比較する。 なお、有限要素法の各要素は、４角形(節点数４個)とする。 　
　

典型的な梁の例、両端固定梁に中央に集中荷重の作用の場合、発生する応力σx,σy,τを算出し、下記の如くのグラフが得られた。
応力を縦軸、位置xを横軸として、位置yが同じ(ここではy=0の位置にある)節点の値をプロットした、節点応力値のグラフとなっている。　
なお、　
　(A) ４点求積では、算出の応力値４個をそのまま節点に割当てる、 又は(B) 近辺の応力値の大小分布関係にて節点に割当てる。
　(C) ９点求積では、算出の応力値９個を単純補間にて応力値４個にした後、これを(B)と同様に分布配設処理にて、節点に割当てる。
　＊ 荷重点はその方向により、σx,σyの割当修正する。 せん断応力τの分布配設処理は、同要素の節点応力σx,σyの増減を用いる。
　
[結論] 本例での理論値はσx=-P(L-4x)/8Zであり、９点求積は要素数20個でグラフが直線となり、要素数増に対する応力値
　　　 の収束が良い。従って、本例応力算出は ９点求積による計算方法が優れた結果 となっている。
　両端固定はり (要素数20)　両端固定はり (要素数320)

　[節点図]
　 紫:拘束
　 赤:荷重

　(A)
　４点求積

　(B)
　４点求積
　応力配置
　　　処理

　(C)
　９点求積
　応力配置
　　　処理
なお、上記の節点図及び応力グラフは、当方のJavaScriptによるソフトの画面抜粋(rev.2012-1-22)です。→FEM･計算画面(9点求積法)
[数値･誤差･時間]
　要素数20：最大σx、　誤差、　　計算時間　要素数320：最大σx、　誤差、　　計算時間
　４点求積
 　±22.1ton/m2　　　　誤差41%　 0.5秒(0.05秒)*1
（±22.0ton/m2)*2		　±35.3ton/m2　　　　誤差5.9%　 7.8秒(2.9秒)*1
　９点求積 　±24.7ton/m2　　　　誤差34%　 0.7秒(0.06秒)*1　±36.5ton/m2　　　　誤差2.7%　 15秒(1.8秒)*1
なお、本例の部材及び理論値：10mLx2mHx1mW、Z=WH2/6=(2/3)m3、荷重P=-20ton {σx}max=PL/(8Z)=-20･10/(8･2/3)=-37.5ton/m2
・計算時間 =ブラウザIEで再計算時間。なお、「このページのスクリプトが、Internet Explorer の実行速度を遅くしています」を
　回避の為、レジストリエディタ(Regedt32.exe)に てMaxScriptStatements のREG_DWORD値に ffffffffを入力設定。
・計算時間での印( )*1 =Google Chromeでの再計算時間。　・最大σxでの印( )*2 =応力配置処理なしでの値。