強度計算・実践への一歩 rev 2009-4 (文字2の記述)  Mori Design Office
■平板の計算の基礎 (長方形板)
 ・記号
    ヤング率 E [kgf/mm2]  板厚t [mm]  ポアソン比 ν [無単位]ニュー
    板の曲げ剛性 D = E・t3/ 12(1 - ν2) [kgf・mm]
    集中荷重 P [kgf]  分布荷重 p [kgf/mm2]  たわみ ω [mm]
    曲げモーメント M [kgf]  せん断力 Q [kgf/mm]  反力 V [kgf/mm]

 
 ・円筒曲げの場合
   曲げによる曲率半径ρx、ひずみεx、中立面からの距離zの関係は、
   梁の計算の基礎のB式 ε=h/ρ と同様に考えて、 εx= -z/ρx
   この場合、ひずみεy=0  更に 応力σz=0 と見なせて、
     εy= (σy-νσx)/E = 0 即ち、σy=νσx
   従って、 εx= (σx-νσy)/E =σx(1-ν2)/E  σx = E・ε/(1-ν2)
   (ハ)に(イ)を代入して、σx=  -E1 - ν 2 zρx
   従って、モーメントは、
     Mx= ∫-t/2t/2 σx z dz =  -E 1 - ν 2 1ρx -t/2t/2 z2 dz = -D/ρx
       但し、板の曲げ剛性 D = E・t3 / {12(1-ν2)}
   一方、中立面から最遠距離 zo = t/2 であり、式(ニ)(ホ)より、
     Mx= σxzo -t/2t/2 z2 dz = σxt2/6
   上式を変形して、曲げ応力の算出式 σ = 6M/t2

 
------ (イ)
 
------ (ロ)
------ (ハ)
------ (ニ)
 
------ (ホ)
------ (ヘ)
 
 
------ (ト)

 ・等方性板の釣り合い方程式(p=分布荷重)、及曲げモーメントの式
    ∂4ω    ∂4ω  ∂4ω   p
    −−−− + 2 −−−−−− + −−−− = −−−−−
 ∂x4    ∂x2∂y2  ∂y4   D

        ∂2ω   ∂2ω             ∂2ω   ∂2ω
 Mx = −D ( -------- + ν --------- )       My = −D ( -------- + ν --------- )
∂x2   ∂y2              ∂y2    ∂x2

    Mxy = Myx = −D(1 - ν)2ω∂x∂y
 
■たわみ式の複級数展開による解 (Navier及び Levy)
 ・長方形で相対2辺が単純支持の場合: 
    a4λ4Dπ4 ∞ ∞ amn m=1 n=1 2・m2 + n2)2
    ω = −−−-{ −−−−−−−−−−−- sin αmx・sin βny }
m=1
      + 倍Amcosh αmy + Bm・αmy・sinh αmy + Cmsinh αmy + Dm・αmy・cosh αmy}・sin αmx
 
    a2λ2π2 ∞ ∞ 2・m2 + νn2)・amn m=1 n=1 2・m2 + n2)2
    Mx = −−−−−{ −−−−−−−−−−−−−−- sin αmx・sin βny }
m=1  Dπ2a2
      + −−−-{倍m21Am − 2νBm)・cosh αmy + m2・(ν1Cm - 2νDm)・sinh αmy
 
      + m2ν1Bm・αmy・sinh αmy + m2ν1Dm・αmy・cosh αmy}・sin αmx
 
    a2λ2π2 ∞ ∞ (νλ2・m2 + n2)・amn m=1 n=1 2・m2 + n2)2
    My = −−−−−{ −−−−−−−−−−−−−−- sin αmx・sin βny }
m=1  Dπ2a2
      - −−−-{倍m21Am + 2Bm)・cosh αmy + m2・(ν1Cm + 2Dm)・sinh αmy
 
      + m2ν1Bm・αmy・sinh αmy + m2ν1Dm・αmy・cosh αmy}・sin αmx

 
---- @
 
 
 
 
 
---- A
 
 
 
 
 
 
---- B
 
 
 
 
 
 
---- C
 
 
 
 
 
 
 
---- D

   ここに、αm = mπ/a  βn = nπ/b  λ = b/a  ν1 = 1 - ν  ( なお、Mxy,Q,V は記述省略。)
 
     更に、
     amn は、荷重の級数展開係数 である。 ( 荷重 q = 這蚤mn sin mπxa・sin nπyb)
      ・等分布荷重 qoの場合
       amn = 16qo / (π2mn)   なお m = 1,3,5,7・・・  n = 1,3,5,7・・・

      ・集中布荷重 Pの場合
       amn = 4Pab・sin mπua・sin nπvb   なお m = 1,2,3,4・・・  n = 1,2,3,4・・・
 
     未定数 Am,Bm,Cm,Dm
     ・y =0,b が 単純支持 (全辺単純支持)
      Am=Bm=Cm=Dm = 0

     ・y = 0,b が 固定
       Am = 0   Dm = F1 - Cm
       Bm = {-F2・(sinh αmb - αmb cosh αmb ) - F1・(αmb - sinh αmb cosh αmb)} / R
       R = αm2b2 - sinh2αmb    Cm = αmb・(F・sinh αmb + F1αmb)
    a4λ3  ∞ m・Dπ4 n・amn n=1 2・m2 + n2)2
       F1= -−−−−−-   −−−−−−−−−-        F2= −−−−−−-   −−−−−−−−−-     a4λ3 m・Dπ4
  (-1)n-1 n・amn n=1 2・m2 + n2)2
       なお、上記の式を単級数に変換できる。詳細 → 板の計算 (単級数)
 
 ・4辺固定の場合
   級数式のマトリックス解となる。 詳細 → 板の計算 (全辺固定)板の計算 (3辺固定・1辺自由)
   ☆ プログラムは、「構造力学・強度計算への一歩」のを参照願います。
     プログラムには、全周固定支持、2辺単純支持・他辺各種支持(固定・弾性・自由)があります。 お問合わせの回答2011-02-27
 

■長方形板の係数
 最大たわみ 及び最大曲げモーメントは、α,βの係数値表より算出ができる。偏微分式を解を係数で下記の如く記述したものです。
   撓み ω = α・p・a4/D
   曲げモーメント Mx = β・p・a2  曲げ応力 σ≒6M/t2
   ここに、分布荷重 p、 辺 a < b、 X 軸は上記図の通り(aと平行)。  尚 この場合、Myは Mxより値が小となるので記述を省略。
 
 ・典型的な境界条件でのα,βの値を下記に示す。
  四辺支持
b/a1.01.11.21.31.41.51.61.71.81.92.03.04.05.0
α0.004060.004850.005640.006380.007050.007720.008300.008830.009310.009740.010130.012230.012820.012970.01302
β0.04790.05540.06270.09640.07550.08120.08620.09080.09480.09850.10170.11890.12350.12460.1250
  四辺固定
b/a1.01.11.21.31.41.51.61.71.81.92.0
α0.001260.001500.001720.001910.002070.002200.002300.002380.002450.002490.002540.00260
β0.05130.05810.06390.06870.07260.07570.07800.07990.08120.08220.08290.0833

☆種々条件での値
  なお、種々条件でに対しては有限要素法(FEM)がある。 便覧値と有限要素法解とは大きな差はない。 参照 → 板計算説明(FEM) (2013-04-28)

■フランジ (中空円板)

  単純支持板での線荷重
  固定板での線荷重

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