強度計算･実践への一歩
[非対称曲げでの断面係数] 2011-01-10 Mori Design Office
　■ 対称曲げ / 非対称曲げ、及び 記号･記述
曲げ応力が零である中立軸が存在し、はり理論の曲げの式が適応できるとする。　曲げ応力σの値は中立軸軸Nからの距離に比例し、 最遠位置に最大が発生するとする。
記述 ・基準軸を X,Yとする　　 ： 横断面の図心を通り、図形位置の基準としての軸とする
・断面２次モーメント　　 ： Ix , Iy ,　断面相乗モーメント Ixy
・慣性主軸を U,Vとする　 ： 横断面の図心を通り、 Iuv＝0 となる軸であり、　基準軸 XYに対し角度αとする
・断面主２次モーメント　 ： Iu＝Ixcos2α＋Iysin2α−Ixysin2α 　　Iv＝Ixsin2α＋Iycos2α＋Ixysin2α
・曲げモーメントM の方向 ： 慣性主軸 Uとの角度φ ( 基準軸 Xとの角度θM なお φ＝θM−α) 　Mu＝M･cosφ　　Mv＝M･sinφ
・中立軸 Nの傾き 　　　　： 慣性主軸 Uとの角度β (基準軸 Xとの角度θN なお β＝θN−α)　UV座標での中立軸の位置 v＝u･tanβ
とする。
曲げモーメント方向の傾きが中立軸 Nと一致する場合は対称曲げであり、一致しない場合は 非対称曲げと称する。
非対称曲げは、断面主２次モーメントに２つの異なる値があり(Iu≠Iv)、かつ 曲げモーメント方向が 慣性主軸に
一致しない(φ≠0)場合に起こる。(後述の式(5)参照)
不等辺山形鋼では Iu≠Iv であり、慣性主軸 の傾きが半端な角度(アングル短辺に対し20〜30度)である為、一般的に非対称曲げとなる。
　■ 慣性主軸の傾きの算出
慣性主軸の傾きαは、次式にて角度αが算出できる。

　　　Ixy＝( IxIy−IuIv )1/2　
----(1)
　　tan 2α＝( Ix−Iy ) / 2 Ixy
----(2)


形材の断面特性値については、 断面性能表(JIS G 3192)にて、Ix, Iy及び 最大最小値 Iu, Ivの値の記載があり、

更に不等辺山形鋼については、慣性主軸 Uの傾きを tanα の値にて記載されている。  但し x軸は 短辺に平行、傾きαは 短辺とのU軸の角度。








　■ 曲げ応力と中立軸


横断面に UV座標をとり、作用している曲げモーメントMをU,V方向に分解して 
Mu＝M･cosφ, Mv＝M･sinφ

任意の位置 P点(u,v)に生じている曲げ応力σを 慣性主軸のU,V方向に分解し、　σu＝vMu/Iu　　σv＝−uMv/Iv

従って、曲げ応力

　　　σ＝σu＋σv＝Mu―― 
Iuv
−
Mv―― 
Ivu
----(3)


　　　　＝ M･cosφIu
v
−M･sinφIv
u

＝(ｖIu
−u･tanφIv
)M･cosφ
----(4)

中立軸の位置では、応力σが零であるので、


　　　　σ＝(ｖIu
−u･tanφIv
)M･cosφ＝ 0　より　　　
v ＝
Iu･tanφ―――――
Iv
u


中立軸の直線、v＝ tanβ･u となる 角度βの値は、


　　　　　β＝tan-1(Iutanφ―――――
Iv)
----(5)


曲げ応力の算出式 (中立軸を基準として算出)
　　σ＝MNvN/IN
----(6)


　　　　

　　但し、　MN： 曲げモーメントMの中立軸方向の成分　MN＝ M･cos(φ−β)
----(7)


　　　　　　IN： 中立軸に関する断面2次モーメント　　IN＝ 
Iucos2β＋ Iusin2β　なお、Iuv＝0
----(8)


　　　　　　vN： 点P(u,v)から中立軸への距離　　　　 vN＝ v･cosβ-u･sinβ
----(9)


cf. uN＝ u･cosβ-v･sinβ




　　式(6)への式誘導

　　曲げモーメントM 式(7)を変形し、式(11)への代入整理が出来るようにする。





　■ 計算例


計算例として、前提条件：右図の片持ち梁

　　･曲げモーメントM の方向：θM度

　　･部材形状： 不等辺山形鋼 L150x100x9　

とする。

部材特性は便覧などで下記値を得る。（　）の値は当方の算出値。

　標準寸法(mm)断面積(cm2)　重心位置(cm)　断面2次モーメント(cm4)
　断面係数(cm3)　慣性主軸


　A X Btr1r2　a　Cx　Cy
　Ix　Iy　最大Iu　最小Iv　Zx　Zy　tanα


　150 X 1009126　21.84
（21.845)		　4.76
（4.7650)		　2.30
（2.3004)		　502
（502.05)		　181
（180.70)		　579
（578.83)		　104
（103.92)		　49.1
（49.052)		　23.5
（23.469)		　0.439
（0.43916)




上記表より、慣性主軸の傾き α＝tan-1(0.43916)＝ 23.709 度

従って、慣性主軸座標での曲げモーメントの方向 φ＝ θM−α＝ 0−23.709＝ -23.709度





慣性主軸座標での中立軸の傾き

　β＝
tan-1(Iutanφ
―――――
Iv)

＝tan-1{578.83･tan(−23.709)
――――――――――――――
103.92}

＝tan-1(-2.44608)＝-67.764度



　(尚、XY座標での中立軸の傾きθN＝β+α= -67.764+23.709= -44.056度)





中立軸に関する断面2次モーメント
 IN＝ 
Iucos2β＋ Ivsin2β

　＝ 578.83･cos2(-67.764)＋103.92･sin2(-67.764)＝ 171.92 cm3


中立軸からの最遠距離γN＝6.1334cm

　　 尚、最遠点のXY座標値 ( 0.71754, 14.831 )


従って、中立軸に関する 断面係数　ZN
＝IN/γN＝171.92/6.1334 =
28.031cm3

片持ち梁の固定部での曲げモーメントは、 M = 500cm x 20kgf = 1000 kgf･cm

従って、曲げ応力 最大値は、

　　σMAX＝MN/ZN= MN/28.031 = M /(28.031/0.71867) = 1000/39.004 = 25.636 kgf/cm2


　　但し、MNは、曲げモーメントMの中立軸方向の成分であり、

　　MN＝ M･cos(θM−θN)
＝M･cos( 0 - (-44.056)) ＝ 0.71867･M











■関連用語とページ：　

　・断面特性の計算の基礎 (矩形・円形・三角形・山形)→断面特性の式 

　・座標移動/回転、断面2次モーメント・断面係数→断面係数の式 

　・計算ソフトの実例画面(慣性主軸、中立軸、断面2次モーメント、断面係数)→断面計算画面(山形)