断面係数の式

[断面の計算]　座標移動/回転を配慮した、各形状の断面特性、式の誘導･計算

2007-5,rev2011-3 Mori Design Office

■基礎事項
　・座標移動　x = x - xo　　y = y - yo　　--①
　・座標回転　x = x･cos α + y･sin α　　y = y･cos α - x･sin α　　--②
　・１次モーメント　Gx = ∫_A y dA　　Gy = ∫_A x dA　　　　　　　　　　　 --③
　　　　座標系x y の原点を図心とする場合、 Gy = Gx = 0　　　　　　　 --④
　　　　左図の例２において、x_o, y_o を x_g, y_g と明記して
　　　　座標系 x y のx軸に関する１次モーメントは　　Gx = ∫_A y + y_g dA = Gy + y_g･A = y_g･A
　　　　同様に　　　 y軸に関する１次モーメントは　　Gy = x_g･A
　　　　従って、図心位置 (x_g,y_g) = ( GyA, GxA)　　　但し、 Aは図形面積　　　　--⑤
　・断面２次モーメント I_xx, I_yy,　断面相乗モーメント I_xy
　　座標移動 I_{x x}　= ∫_A y²dA = Ixx - 2yo･Gx + yo²･A 　　なお、 y_o = y - y　　Gx = Gx + yo･A 　　　　--⑥
I_{y y}　= ∫_A x²dA = Iyy - 2xo･Gy + xo²･A 　　なお、 x_o = x - x　　Gy = Gy + xo･A 　　　　--⑦
I_{x y}　= ∫_Ax･y dA = Ixy - xo･Gx - yo･Gy + xo･yo･A　　　又は = Ixy - xo･Gx - yo･Gy - xo･yo･A 　--⑧
　例１：座標軸x が図心を通る、 Ix x = Ixx - 2･yo･( 0･A) + yo²･A = Ixx + yo²･A
　例２：座標軸x が図心を通る、 Ix x = Ixx - 2･yo･(yo･A) + yo²･A = Ixx - yo²･A
　　　　　　　　　　(注)　但し、軸の位置関係は x_o = x - x,　 y_o = y - y であり、 x_o, y_oは負の場合もあり得る。
　　即ち、図形移動での y_o = y - y の場合では式⑥は、　　I_{x x}　= Ixx + 2yo･Gx + yo²･A　--⑥'
　　座標回転 I_{x x}　= Ixx･cos²α + Iyy･sin²α - Ixy･sin 2α =　 12(Ixx + Iyy) + 12(Ixx - Iyy)･cos 2α - Ixy･sin 2α　 -⑨
I_{y y}　= Ixx･sin²α + Iyy･cos²α + Ixy･sin 2α =　 12(Ixx + Iyy) -12(Ixx - Iyy)･cos 2α + Ixy･sin 2α　-⑩
I _{x y}　= ∫_A (x･cos α + y･sin α)(y･cos α - x･sin α) dA = 12 (Ixx - Iyy)･sin 2α + Ixy･cos 2α　　 -⑪

断面形状	断面２次モーメント I　 ( 基軸U-V, 添え字ｇ:重心、c:中心または先端 )
	Ixg = ∫_-h/2^h/2b･y² dy = b･h³/12　　 Iyg = h･b³/12 Ixyg = ∫_A x･ydA = ∫_-b/2^b/2 { x∫_-b/2^b/2y dy} dx = 0 I_ξ = Ixg･cos²α + Iyg･sin²α I_η =Ixg + Iyg - I_ξ I_ξη = (Ixg - Iyg)･sin(-2α)/2 A = b･h　従って、基軸UVに関する断面2次モーメントは、上記値を用いて、Gx=0,Gy=0 故 Iu = I_ξ + v²･A　　Iv = I_ξ + u²･A　　Iuv = I_ξη + A･u･v
	Ixg = ∫_-h/3^2h/3y²･b･( 23- yh) dy = b･h³/36 　尚、h = a･sinθ　　b₁ = a･cosθ　　y_o = h/3　　A = h･y/2 Iy = ∫_-b1⁰{ x²･(b₁-x)･h/b₁ } dy + ∫₀^b2{ x²･(b₂-x)･h/b₂ } dy = h･b₁³/12 + h = h･(b₁³ + b₂³)/12 Iyg = Iy - x_o²･A = {h･(b₁³ + b₂³)/12} - {(-b₁+ b₂)/3}²･{bh/2} = h･(b₁³ + b₂³ + 2b₁ b₂b)/36 Ixy1 =∫₀^h ∫_x⁰ x･y dxdy = ∫₀^h [ x ² 2] _-b1(h-y)/h ⁰dy= - 12 ∫₀^h {b1(h-y)/h}² y dy =-b₁²h²/24 同様に、Ixy2 = b₂²h²/24 Ixyg = Ixy1 + Ixy1 - x_o･y_o･A = -b1²h² 　24__ + b2²h² 　24__ - -b1 + b2 　　3____ h 3 bh 　2_ = (b₁²-b₂²)h²/72 　尚、 Gx = ∫₀^h bh(h-y) ･y dy = b･h²/6　　　yo = Gx/A = h/3 　　　 Gy = x_1oA₁ + x_2oA₂ = -b13 b1h2 + b23 b2h2 = hb･(-b₁+b₂)/6　 xo = Gy/A = 2Gy/bh = (-b₁+b₂)/3　　 Iug = Ixg･cos² α + Ivg･sin² α - Ixyg･sin(-2α)　　Ivg = Ixg + Iyg - Iug Iuvg = -12 (Ixg - Iyg)･sin 2α + Ixyg･cos 2α さて、ug = xg･cos α - yg･sin α 　　vg = yg･cos α + xg･sin α　　従って、基軸UVに関する断面2次モーメントは、上記値を用いて、　Iu = Iug + (u_c+ug)²･A　　Iv = Ivg + (v_c+vg)²･A 　　Iuv = Iuvg + (u_c+ug)･(v_c+vg)･A
	Ixc　= ∫_θ₁^θ ₂ ∫_r1^r2 r³sin²θ drdθ = 116(r₂⁴ - r₁⁴) [2θ₂- 2θ₁- sin2θ₂+ sin2θ₁] Iyc　= ∫_θ₁^θ ₂ ∫_r1^r2 = 116(r₂⁴ - r₁⁴) [2θ₂- 2θ₁+ sin2θ₂- sin2θ₁] Ixyc = ∫_θ₁^θ ₂ ∫_r1^r2 r³cosθ･sinθ drdθ = -116(r₂⁴ - r₁⁴) [cos2θ₂- cos2θ₁] Gyc = ∫_θ₁^θ ₂ ∫_r1^r2 r²cosθ drdθ = (r₂³ - r₁³)(sinθ₂-sinθ₁)/3 Gxc = ∫_θ₁^θ ₂ ∫_r1^r2 r²sinθ drdθ = (r₂³ - r₁³)(cosθ₁-cosθ₂)/3 A = (r₂² - r₁²)･(θ₂ - θ₁)/2 　　x_g = Gyc / A　　　y_g = Gxc / A Ixg = Ixc - y_g²･A 　　Iyg = Iyc - x_g²･A　　 Ixyg = Ixyc - x_g･y_g･A 従って、基軸UVに関する断面2次モーメントは、上記値を用いて、 Iu = Ixg + (v_c+y_g)²･A　　Iv = Iyg + (u_c+x_g)²･A　　 Iuv = Ixyg + (u_c+x_g)･(v_c+y_g)･A
なお、全面 (h=2b ) の場合　面積　A= π･a･b 　断面2次ﾓｰﾒﾝﾄ　Ix= πab³/4 　　　→式誘導説明	A = 2ab ∫_b-h^b (b²-y²)^1/2dy = 2ab ∫_β^π^/2 { (b²-y²)^1/2 (dy/dt)dt }_{y=b･sin t} = a･b2{π - 2β - sin 2β } Gx = 2ab ∫_b-h^b y･(b²-y²)^1/2dy = 2ab ∫_β ^π^/2 (b･sin t )･(b･cos t)² dt = 23a･b²･cos³β 　　　Gy = 0 Ix = 2ab ∫_b-h^b y²(b²-y²)^1/2 dy= 2ab ∫_β^π/2 (b･sin t)²･b･(cos t) dydt･dt = 116 a･b³･{ 2π - 4β + sin 4β } Iy = 2･∫_o^Xex²･{ ab (a²-x²)^1/2 - b + h } dx = a³･b･(α - sin 4α4)／4 - 23 (b - h)･x_e³ 　　Ixy = 0 但し、 β= sin^-1 ( b-hb) 　　 x_e = ab (b²-y²)^1/2 = ab (2b･h - h²)^1/2 　　α = sin^-1(x_e/a) 重心位置での断面2次モーメントは、 Ixg = Ix - y_g²･A 　　Iyg = Iy - x_g²･A　　 Ixyg = Ixy - x_g･y_g･A 　　なお、　x_g= 0　　y_g = Gx / A u_c,v_c からの重心位置は、　　u_g = x_g cos(-θ) + y_g sin(-θ) = -y_g sin θ 　　v_g = y_g cos(-θ) - x_g sin(-θ) = y_g cos θ　　　rev.2024-02-16 Iug = Ixg･cos² θ + Iyg･sin² θ - Ixyg･sin(-2θ)　　Ivg = Ixg + Iyg - Iug Iuvg = -12 (Ixg - Iyg)･sin 2θ + Ixyg･cos 2θ 　従って、基軸UVに関する断面2次モーメントは、上記値を用いて、　　Iu = Iug + (v_c+y_g)²･A　　Iv = Ivg + (u_c+x_g)²･A　　 Iuv = Iuvg + (u_c+x_g)･(v_c+y_g)･A　　　　rev.2024-02-16

■曲げ応力と断面係数

　横断面の図心を原点とする座標に於いて、一方の座標軸が横断面形状の中心の対象位置であり、この軸に外部の曲げモーメントIの位置方向とが一致する場合、
　座標原点は曲げ応力が零(σ=0)の中立軸上にあり、曲げの公式が成立する。
　即ち中立軸から距離ηにおける曲げ応力σは、
　　　　　　　　　σ＝ M―― Z ここに、断面係数　Z =　 I―― η　　　　--⑫
　なお、対称図形であるので、この軸及び直交軸とに関する断面相乗モーメントI_xyは零となる。
　形材などの複合図形の断面２次モーメントは、全体の重心位置を原点とする基準軸で、前述の座標移動の式⑥⑦による各部毎の断面２次モーメントの合計である。　I = Σ Ikk

[慣性主軸と断面主２次モーメント]

　■前述の式⑨座標回転角αに関し、最大･最小の断面２次モーメント
　　最大･最小の断面２次モーメント即ち、重心を通るを軸（慣性主軸）とする断面主２次モーメントについて、式⑨の x, y を u, v と
　　記述、基準軸からの慣性主軸の角度αを用いずに、断面主２次モーメントを求める式として、
　　{ I_uu-(I_xx-I_yy)/2 }² + Iuv²　を式⑨と式⑪で計算すると、cos²2α+sin²2α=1 であり、及び cos2α･sin2αの項は相殺されて
　　角度αが消え、そして重心を通る軸 Iuv=0 であり整理して、
　　　　　最大： I₁ ≡ I_uu =　( Ixx + Iyy )/2 + { ( Ixx - Iyy )² + 4･Ixy² }^0.5 /2　　 --⑬ rev 2024-2-25
　　　　　最小： I₂ ≡ I_vv =　( Ixx + Iyy )/2 - { ( Ixx - Iyy )² + 4･Ixy² }^0.5 /2　　 --⑭ rev 2024-2-25
　　この軸の角度αは、I_uu の式⑨に於いて、微分が零 ( d I_uu/dα=0 ) にて、　-(Ixx-Iyy)･sin2α - 2･Ixy･cos2α = 0 で求められる。
　　又は、式⑪の断面相乗モーメント I_uv = 0 にて、
　　　　　tan2α = 2･Ixy / (Iyy-Ixx) 　　　--⑮ rev 2024-2-25
　　なお、I₁の軸とI₂の軸はαが90度の周期がある故、この両軸は直交する。
　　★曲げモーメントが慣性主軸の方向である場合、即ち慣性主軸の軸回転させる方向である場合は、軸上は曲げ応力零であり
　　　この軸と中立軸とが一致し、前述式⑫の σ=M･η/I　が適用できる
　
■曲げ応力
　　慣性主軸の座標点P(u,v)での曲げ応力 σ を慣性主軸のU,V方向に分解し、　σ_u＝ v M_u / I_uu　　σ_v＝－u M_v / I_vv
　　　σ=σ_u＋σ_v＝M_u--- I_uuv － M_v--- I_vvu = M cos φ I_uuv － M sin φ I_vvu
　　　　 = M･{ v ---I₁ cos φ － u ---I₂ sin φ }　　　--⑯
　　なお、上式にてσ=0 である中立軸の位置角度　β = tan^-1{ I₁---I₂tan φ }　　　 --⑰ rev 2024-2-25
詳細→非対称曲げ応力

　その他参照：　断面特性の計算の基礎　四角形の作成と計算　断面計算画面(山形)
　　　　　　　　　　単純ねじり･曲げねじり、各種断面･薄肉断面→ねじり剛性