強度計算･実践への一歩
[断面の計算]　座標移動/回転を配慮した、各形状の断面特性、式の誘導･計算2007-5,rev2011-3 Mori Design Office
■基礎事項
　・座標移動　x = x - xo　　y = y - yo　　--@
　・座標回転　x = x･cos α + y･sin α　　y = y･cos α - x･sin α　　--A
　・１次モーメント　Gx = ∫A y dA　　Gy = ∫A x dA　　　　　　　　　　　--B
　　　　座標系x y の原点を図心とする場合、 Gy = Gx = 0　　　　　　　 --C
　　　　左図の例２において、xo, yo を xg, yg と明記して
　　　　座標系 x y のx軸に関する１次モーメントは 　　Gx = ∫A y + yg dA = Gy + yg･A = yg･A
　　　　同様に 　　 　 y軸に関する１次モーメントは　　Gy = xg･A
　　　　従って、図心位置 (xg,yg) = ( GyA, GxA)　　　但し、 Aは図形面積 　　　　--D
　・断面２次モーメント
　　座標移動 I x x　= ∫A y 2 dA = Ixx - 2yo･Gx + yo2･A 　　なお、 yo = y - y　　Gx = Gx + yo･A 　　　　--E
I y y　= ∫A x 2 dA = Iyy - 2xo･Gy + xo2･A 　　なお、 xo = x - x　　Gy = Gy + xo･A 　　　　--F
I x y　= ∫Ax･y dA = Ixy - xo･Gx - yo･Gy + xo･yo･A　 　　又は = Ixy - xo･Gx - yo･Gy - xo･yo･A 　--G
　例１：座標軸x が図心を通る、 Ix x = Ixx - 2･yo･( 0･A) + yo2･A = Ixx + yo2･A
　例２：座標軸x が図心を通る、 Ix x = Ixx - 2･yo･(yo･A) + yo2･A = Ixx - yo2･A
　　　　　　　　　　(注)　但し、軸の位置関係は xo = x - x,　 yo = y - y であり、 xo, yoは 負の場合もあり得る。
　　即ち、図形移動での yo = y - y の場合では 式Eは、　　I x x　= Ixx + 2yo･Gx + yo2･A　--E'
　　座標回転 　　Ix x　= Ixx･cos2α + Iyy･sin2α - Ixy･sin 2α =　 12(Ixx + Iyy) + 12(Ixx - Iyy)･cos2α - Ixy･sin 2α　-H
I y y　= Ixx･sin2α + Iyy･cos2α + Ixy･sin 2α =　 12(Ixx + Iyy) - 12(Ixx - Iyy)･cos2α + Ixy･sin 2α　-I
I x y　= 12 (Ixx - Iyy)･sin 2α + Ixy･cos 2α　--J

断面形状 断面２次モーメントI　(基軸U-V, 添え字ｇ:重心、c:中心または先端)
Ixg = ∫-h/2h/2b･y2 dy = b･h3/12　　 Iyg = h･b3/12
Ixyg = ∫A x･ydA = ∫-b/2b/2 { x∫-b/2b/2y dy} dx = 0
Iξ = Ixg･cos2α + Iyg･sin2α
Iη =Ixg + Iyg - Iξ
Iξη = (Ixg - Iyg)･sin(-2α)/2
A = b･h　
従って、基軸UVに関する断面2次モーメントは、上記値を用いて、Gx=0,Gy=0 故
Iu = Iξ + v2･A　　Iv = Iξ + u2･A　　Iuv = Iξη + A･u･v
Ixg = ∫-h/32h/3y2･b･( 23- yh) dy = b･h3/36 　尚、h = a･sinθ　　b1 = a･cosθ　　yo = h/3　　A = h･y/2
Iy = ∫-b10{ x2･(b1-x)･h/b1 } dy + ∫0b2{ x2･(b2-x)･h/b2 } dy = h･b13/12 + h = h･(b13 + b23)/12
Iyg = Iy - xo2･A = {h･(b13 + b23)/12} - {(-b1+ b2)/3}2･{bh/2} = h･(b13 + b23 + 2b1 b2b)/36
Ixy1 =∫0h ∫x0 x･y dxdy = ∫0h [ x 2 2] -b1(h-y)/h 0dy= - 12 ∫0h {b1(h-y)/h}2 y dy =-b12h2/24 同様に、Ixy2 = b22h2/24
Ixyg = Ixy1 + Ixy1 - xo･yo･A = -b12h2 　24__ + b22h2 　24__ - -b1 + b2 　　3____ h 3 bh 　2_ = (b12-b22)h2/72
　尚、 Gx = ∫0h bh(h-y) ･y dy = b･h2/6　　　yo = Gx/A = h/3
　　　 Gy = x1oA1 + x2oA2 = -b13 b1h2 + b23 b2h2 = hb･(-b1+b2)/6　 xo = Gy/A = 2Gy/bh = (-b1+b2)/3　　
Iug = Ixg･cos2 α + Ivg･sin2 α - Ixyg･sin(-2α)　　Ivg = Ixg + Iyg - Iug
Iuvg = -12 (Ixg - Iyg)･sin 2α + Ixyg･cos 2α
さて、ug = xg･cos α - yg･sin α 　　vg = yg･cos α + xg･sin α　　
従って、基軸UVに関する断面2次モーメントは、上記値を用いて、
　Iu = Iug + (uo+ug)2･A　　Iv = Ivg + (vo+vg)2･A 　　Iuv = Iuvg + (uo+ug)･(vo+vg)･A
Ixc　= ∫θ1θ 2 ∫r1r2 r3sin2θ drdθ = 116(r24 - r14) [2θ2- 2θ1- sin2θ2+ sin2θ1]
Iyc　= ∫θ1θ 2 ∫r1r2 = 116(r24 - r14) [2θ2- 2θ1+ sin2θ2- sin2θ1]
Ixyc = ∫θ1θ 2 ∫r1r2 r3cosθ･sinθ drdθ = -116(r24 - r14) [cos2θ2- cos2θ1]
Gyc = ∫θ1θ 2 ∫r1r2 r2cosθ drdθ = (r23 - r13)(sinθ2-sinθ1)/3
Gxc = ∫θ1θ 2 ∫r1r2 r2sinθ drdθ = (r23 - r13)(cosθ1-cosθ2)/3
A = (r22 - r12)･(θ2 - θ1)/2 　　xg = Gyc / A　　　yg = Gxc / A
Ixg = Ixc - yg2･A 　　Iyg = Iyc - xg2･A　　 Ixyg = Ixyc - xg･yg･A
従って、基軸UVに関する断面2次モーメントは、上記値を用いて、
Iu = Ixg + (vc+yg)2･A　　Iv = Iyg + (uc+xg)2･A　　 Iuv = Ixyg + (uc+xg)･(vc+yg)･A
A = 2ab ∫b-hb (b2-y2)1/2dy = 2ab ∫βπ/2 { (b2-y2)1/2 (dy/dt)dt }y=b･sin t = a･b2{π - 2β - sin 2β }
Gx = 2ab ∫b-hb y･(b2-y2)1/2dy = 2ab ∫β π/2 (b･sin t )･(b･cos t)2 dt = 23a･b2･cos3β 　 　　Gy = 0
Ix = 2ab ∫b-hb y2(b2-y2)1/2 dy= 2ab ∫βπ/2 (b･sin t)2･b･(cos t) dydt･dt = 116 a･b3･{ 2π - 4β + sin 4β }
Iy = 2･∫oXex2･{ ab (a2-x2)1/2 - b + h } dx = a3･b･(α - sin 4α4)／4 - 23 (b - h)･xe3 　　Ixy = 0
但し、 β= sin-1 ( b-hb) 　　 xe = ab (b2-y2)1/2 = ab (2b･h - h2)1/2 　　α = sin-1(xe/a)
( なお、h=2b の場合　面積 A= π･a･b　　モーメント Ix= π･a･b3/4 ) →式誘導説明

uc,vc からの重心位置、 xg = 0　　yg = Gx / A　　ug = -yg･cos θ　　vg = yg･cos θ
Ixg = Ix - yg2･A 　　Iyg = Iy - xg2･A　　 Ixyg = Ixy - xg･yg･A
Iug = Ixg･cos2 θ + Ivg･sin2 θ - Ixyg･sin(-2θ)　　Ivg = Ixg + Iyg - Iug
Iuvg = -12 (Ixg - Iyg)･sin 2θ + Ixyg･cos 2θ
従って、基軸UVに関する断面2次モーメントは、上記値を用いて、
Iu = Iug + (vc+yg)2･A　　Iv = Iug + (uc+xg)2･A　　 Iuv = Iuvg + (uc+xg)･(vc+yg)･A


図形組合せ と 断面係数 （対称図形の場合）
■断面２次モーメントの加算
　形材などの複雑な断面は、四角･三角、円弧の基本図形の組合せとして、断面２次モーメントI の値が算出できる。
　中立軸に関する断面２次モーメントを求めるには、各基本図形に対して 中立軸に関するの断面２次モーメントを求めて、これを加算する。　I = Σ Ikk
■曲げ応力と断面係数
　断面が曲げモーメントMに対し対称図形である場合、即ち曲げモーメントMの方向が中立軸に一致(中立軸を軸として回転させる)である場合、
　中立軸から距離ηにおける曲げ応力σは、
　　　　　　　　　σ＝ M―― Z ここに、断面係数　Z =　 I―― η　　　　--K
　
　　　　　なお、中立軸の定義は σ= 0 となる位置である。
　　　　　　　　　対称図形であるので、この軸及び直交軸とに関する 断面相乗モーメントは 零となる。

曲げモーメントの方向と中立軸とが一致しない場合
■断面主２次モーメント： 　前述の座標回転角αに対し、最大・最小の断面２次モーメント
　　このαの値は、式HIxx においてαの微分が零を満足する。従って　-(Ixx-Iyy)･sin2α - 2･Ixy･cos2α = 0 より
　　　　tan2α = 2･Ixy/(Iyy-Ixx) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　--L
　　この式Kを元の式Hに代入して、断面主２次モーメントは、
　　　　Imax ≡ I1 =　( Ixx + Iyy ) + { ( Ixx - Iyy )2 + 4･Ixy2 } 1/2　　--M
　　　　Imin ≡ I2 =　( Ixx + Iyy ) - { ( Ixx - Iyy )2 + 4･Ixy2 } 1/2　　--N
　
　　なお、I1の軸とI2の軸を慣性主軸と呼ばれている。　　αに90度の周期がある故、この両軸は直交する。
　
　　★曲げモーメントが慣性主軸の方向である場合、即ち慣性主軸を軸に回転させるモーメントである場合は、
　　この軸に中立軸が一致し、前述式Kの σ=M･η/I を適用できる。
　　

■曲げ応力
　　慣性主軸の座標点P(x,y)での応力　σ = M･( (y / I1)･cosα - (x / I2)･sinα) 　　--O

　　なお、σ＝0である中立軸の位置角度　β = tan-1 {(tan α)･I1/I2}
詳細→非対称曲げ応力
　その他 参照： 　断面特性の計算の基礎 　四角形の作成と計算 　断面計算画面(山形)
　　　　　　　　　　単純ねじり･曲げねじり、各種断面･薄肉断面→ねじり剛性

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