top 強度計算・実践への一歩 2007-5 Mori Design Office
はり計算 について、基礎理論不静定 (固定支持ラーメン、たわみ角法)連続はり(3モーメント法)弾性支持 及び連立方程式 について記述です。
  はり
■梁の計算の基礎(→モーメントの説明)
 (1) せん断力F [kgf] と 曲げモーメントM [kgf・mm] (微小要素への作用、右図1)
   力の釣合い、 下向き力の合計 = ωdx - F + F +dF = 0  より  dF/dx = - ω             ---- @
   モーメントの釣合い、dxの右端での時計回り = M + Fdx - ωdxdx2 - M - dM = 0 より dM/dx = F    - A

   値の算出には、上式を部材xo〜x 間について、上式を積分して (rev.2019-4-12 符号訂正しました +∬→ -∬)
     F = Fo -∫xox ω dξ -- @'   M = Mo +∫xox F=  Mo + Fo・(x-xo) -∫xox xoξ ω dξdξ - A'
 
   面積モーメント法、 上式A'内の2重積分の項は 部分積分法にて, ∫xox xoξ ω dξdξ =∫xox ω(x-ξ)dξ
     この項は、荷重 ωdξに距離 (x-ξ) を掛けた1次モーメントdM を積分したものである。 右図(b)参照。
     従って、図形の図心の定義に対応させることが出来、上式をAx- と置いて、
     Ax- = =∫xox ω(x-ξ) dξ= A・x- ここに、面積 A = ∫oξω dξ   図心距離 x- = Ax- / A
     ここで、式@'A'を書き直して、 F = Fo - A   M = Mo + Fo・x + Ax-
 
   備考
    ・代表的な面積モーメントAx-を右図に示す。
    ・この利点は、図形で見る明瞭さ。しかし、図を残す作業より、積分記号を2回書き込む方が簡単。
    ・集中荷重の場合、分布荷重での積分式に対応できる記述方法を右図に示す。(→ディラックのデルタ関数)
    ・はりの軸に沿って、 F,M の値の線を 記載したのを せん断力図(SFD)、曲げモーメント図(BMD)と言う。
   計算例
   (a)○集中荷重、突出しはり、(計算の区間 0〜x、及び x=bで M=0 とする)
      式@'A'おける∫wdxは、Rとなる。 
      F = Fo+R = aW/b,  M = Mo+ Fo・x + R・x = -W(a+x) + R・x = - Wa(b-x)/b
      なお、Fo=-W, Mo = -aW, R= W(a+b)/b  この計算は右図○の等価計算には便利。
 
      ( 区間 -a〜x での場合では、 計算は簡単で、x=-a での FoおよびMoはゼロ、
       x<0 でF = -W, M = -Wx  x>0 で F=R-W, M = -W(a+x) + R・x = - Wa(b-x)/b )
 
   (b)○等分布荷重、片持ちはり、対象領域 0〜x、∫ωdx=ωx
      F = R - ωx = ωz, M = Mo + R・x-ωx2/2 = -ωz2/2, なお、Fo=0, R = ωL, Mo = -ωL,2/2, z = L-x
      ( この結果は、最初からzについて考えると計算が簡単で、SFD,BMDの際はxで考える。
       ○の場合は、xでの計算が簡単である。但し、最終的に位置の基準点換算は必要 )



 (2) たわみの前提条件:
    真直梁に純曲げが生じて、断面平面及びその縦繊維との直交性が、
    曲げ前と同じく保たれている(ベルヌイナビエの仮説)
 ・フックの法則より 発生する曲げ応力 σ = ε・E  [kgf/mm2] ----- B
    ここに ε を歪み[無単位]、Eを縦弾性係数[kgf/mm2]
   ひずみ
 ・歪み ε= λl= h・θρ・θ= hρ------- C
 ・断面2次モーメント(定義式) I = ∫Ay2 dA [mm4]   ----- D
 ・断面が受けるモーメントM = ∫Aσy dA  [kgf・mm]  ----- E
 ・断面係数(定義式) Z = I/η [mm3] 但し、中立軸から最遠点距離 η [mm]    ---- F  (→公式)
 ・@〜Eにて、   曲げの公式 σ = M / Z   [kgf/mm2] ----- G }(→算出説明)
            曲率 1ρ = MEI [1/mm] ----- H
 ・更に、曲率 1ρ = -dids = -d(tan i)dx did(tan i) dxds = - d2ydx 2 cos3i ≒ - d2ydx 2  ---I
    なお上式Iは、 tan i = dydx   did(tan i) = {d(tan i)di  }-1 = cos2i    dxds= cos i
    の代入による。  (→追加説明)
 ・方向の符号正負について、応力は圧縮をマイナス、引張りをプラス (引張り応力の増分もプラス)で、
    座標は 梁においては 下方をy方向プラスとしている。 従って一般には、曲げ応力の方向の正負は、
    y方向に引張りが増となる場合をプラスとする。 即ち、はりを凹湾曲とさせる場合をプラス、凸湾曲と
    させる場合をマイナスとしている。 図(3)参照。

   たわみ
 ・撓み角度は、 i = tan-1( dydx ) ≒dydx[rad]  で近似する。 ( 8度でも誤差は -0.1% 以下)
 ・式FGにより モーメントと曲率の関係   d2ydx 2 = - MEI [mm-1] これを積分し下記の式が導かれる。
 ・撓み角の式  i = io + ∫xox -MEIdx [rad]                  ------------ J
 ・撓みの式   y = yo + ∫xoxi dx =  yo + io・(x-xo) + ∫xox xox -MEIdx dx [mm] - K
(→2重積分の注意点)

 ・典型的な例 (右図)
   (イ)片持ちはり 集中荷重P [kgf]の場合
      固定点x=0で 撓み角i=0  撓みy=0 固定点からxの位置において M = -P・(L-x)
      x点での撓み角 i = io + ∫ox P・(L-x)EI dx = P・(Lx - x2/2)/EI
      x点での撓み y = yo + ∫ox P・(Lx - x /2)2 EIdx = P・(3L・x2 - x3)/6EI
   (ロ)片持ちはり 分布荷重q [kgf/mm] の場合
      固定点x=0で 撓み角 i=0  撓みy=0 xの位置において M = -q・(L-x)2/2
      x点での撓み角 i = io + ∫ox q・(L-x) /22 EIdx = q・(L2・x - L・x2 + x3/3)/2EI
      x点での撓み y = yo + ∫ox q・(L ・x - L・x + x /3) 223 2EIdx = q・(6L2・x2 - 4L・x3 + x4)
/24EI

   (ハ)両端支持はり 集中荷重P [kgf] の場合
      yA = 0  RA = b・P/L   M1 = RA・x  M2 = -P・(x-a)、  x<aで M = M1 x>aで M = M1+M2
      yB = yA+ L・iA + ∫oL ox -M1EIdx dx + ∫aL ax -M2EIdx dx = P・b(-L2 + b2)/6EI
= 0    従って、iA = P・b(L2 - b2)/ 6EIL
      x < a で   i = P・b(L2 - b2 - 3x2)/ 6EIL    y = P・b・x・(L2 - b2 - x2)/ 6EIL
      x>a で  i = -P・a(L2 - a2 - 3z2)/ 6EIL    y = P・a・z・(L2 - a2 - z2)/ 6EIL
(→詳細説明)
   (ニ)両端支持はり 分布荷重q [kgf/mm] の場合
      yA = 0  RA = L・q/2  M = RA・x - q・x2/2  及び yBは 式Kで x=Lにて
      yB = yA+ L・iA + ∫oL ox -MEIdx dx = L・iA- q・L4/ 24EI = 0  故に、 iA = q・L3/ 24EI
      従って、式JKより i = q・(L3 - 6L・x2 +4x3)/24EI   y = q・(L3x - 2L・x3 +x4)/24EI
追加 Date 2007-9-6 

■不静定はり と 曲げモーメント
 両端固定などの場合、曲げモーメントの式にて諸変数値を算出できる。
 ・端モーメント MA,MBの作用
   x点でのモーメント M = RA・x + MA ---@  この式でx=L、又はB点モーメントより RA = (MB - MA)/L -A
   上式を下記の如く、たわみ角の式、たわみの式に代入して
   撓み角 iB = iA + ∫oL -MEIdx = iA - (RA・L/2 + MA)・L / EI = iA - (MA + MB)・L / 2EI  -B
   撓み yB = yA + ∫oL {iA + ∫ox -MEIdx } dx = yA + iA・L - (RA・L + 3MA)・L2 / 6EI 
        = yA + iA・L - (2MA + MB)・L2 / 6EI ----C
   曲げモーメントにて発生するたわみ角の算出
     上式Cより、iA=(2MA + MB)・L / 6EI + (yB - yA)/L----C' 
     これを式Bに代入して、  iB= -(MA + 2MB)・L / 6EI + (yB - yA)/L----B'
   曲げモーメントの角度から曲げモーメントの算出は、式BCを連立方程式としてを解いて
     MA = 2EI・(2iA + iB)/L - 6EI(yB - yA)/L2 --D
     MB = -2EI・(iA + 2iB)/L + 6EI(yB - yA)/L2 --E
 
 ・起因要素ごとに考えると、端モーメントM、荷重W、及び支点間傾斜Dがあり、 各諸変数に  M,W,D を
  上添え字で付記して、例えば 上記のA点での角度 iA は iAM (一般的には iA,M であるが ) と記述すれば、

     例、 yA = yAM + yAW + yAD    iA = iAM + yAW + iAD --- F   下記に典型的例を示す。



 ・両端固定 (右下図、支点間傾斜なしの場合)
   支点で、 iA = iB = 0   iAM = iA - iAW = -iAW  同様に、iBM = -iBW これらを各々式D,Eに代入して
   MA = -2EI・(2iAW + iBW)/L  --D'      MB = 2EI・(iAW + 2iBW)/L -----E'
   (a)集中荷重 P
     前述(ハ)iAより、 iAW = P・b・(L2 - b2) / (6EI・L)   iBW = -P・a・(L2 - a2) / (6EI・L)
     これを前記式D'E'に代入して、 MA = -P・a・b2/L2  MB = -P・a2/・b/L2
     抗力RA = (-MA+MB+Pb)/L = Pb2(3a+b)/L3   RB =P-RA = Pa2(a+3b)/L3   (→詳細説明)
     これは不静定が解けたことであり、撓み角i および撓みy は、基本式に代入して
      x < aで M = P・b2・{(3a+b)・x-a・L}/L3
            i = P・b2x・{2a・L-(3a+b)・x} / (2EIL3)  y = P・b2x2・{3a・L-(3a+b)・x} / (6EIL3)
      x > aで M = P・a2・{(a+3b)・x-b・L}/L3
            i = P・a2z・{2b・L-(a+3b)・z} / (2EIL3)  y = P・a2z2・{3b・L-(a+3b)・z} / (6EIL3)
(→詳細説明)
   (b)分布荷重 q
     前述(ニ)より iAW = -iBW = q・L3 / 24EI   D'E'式に代入して、 MA = MB = -q・L2 / 12
     これにて不静定が解けて M = MA+RA・x+∫ox(-q・ξ) dξ = -q・(L2 - 6L・x +6x2)/12
     従って、撓み角i および撓みy は、基本式に代入して
      i = q・x・(L-x)・(L-2x) / 12EI   y = q・x2(L-x)2 / 24EI    (→詳細説明)
追加 Date 2007-9-13 
   (c) ラーメン
     各部材 (はり部、柱部)の端部について、力とモーメントの釣合い、撓み角と撓みの基本式にて
     計算ができる。 ラーメン(はり計算解法)ラーメン(補強材付) を参照。
     その他の参考: たわみ角法ラーメン(たわみ角法)
追加 Date 2014-5 
→公式集 →公式集

■3モーメント法
  下記に示すように、両端支持はり に 端モーメント を考え、部材角度の連続にて、3モーメントの式が導かれる
  (ここでは、支点間傾斜の場合も含む)。 連続はりの解法などに用いられる。

 ・左側(No.1)スパン
    右支点の撓み角、   i1B = i1BM + i1BW + i1BD -----G
    式B'にて、       i1BM = -(M1A+2M1B)・L1 / 6EI + (y1BM-y1BM)/L1   -- G'
 ・右側(No.2)スパン
    左支点の撓み角、   i2A = i2AM + i2AW + i2AD -----H
    式C'にて、       i2AM = (2M2A+M2B)・L2 / 6EI  + (y1BM-y1BM)/L1   ----H'
 ・上記4つの式に、右図aの角度連続 i1B = i2A、 右図cの釣合い M1B= M2A、及び記号を整えて次式となる。
 ・3モーメントの式
    L16EI1M1 + (2L16EI1 +2L2 6EI2 )・M2 +L26EI2 ・M3 = i1BW - i2AW + i1D - i2D -I
  
     なお、支間傾斜角は、右図d の如く、
         i1AD = i1BD = (y1B - y1A)/L の故、 i1D = (y1B - y1A)/L と記述。
  
 ・抗力は、両端支持での荷重による抗力(前述 ハ,ニ 参照)と、上式の端モーメントによる抗力(前述式A)の合計
   例えば 右上図、支点2では、  R2 = R1BW + R2AW + R1BM + R2AM             --J
   ・集中荷重 W1,W2の場合、R2 = a1W1/L1 + b2W2/L2 + (M1-M2)/L1 + (M3-M2)/L2  --J'
   ・等分布荷重ωの場合、R2 = = ω1L1/2 + ω2L2/2 + (M1-M2)/L1 + (M3-M2)/L2  --J'
 ・点xにおける曲げモーメント
   単純支持では、計算基礎の式A'において、Mo=0 で M2XW = R2AW・x +∫ox oξ ω dξdξ
   端モーメントによるx点のモーメントは、M2XM = M2 + R2AM・x = M2 + {(M1-M2)/L1 + (M3-M2)/L2}・x
   曲げモーメントはこの合計 M2X = M2XW + M2XM -- K
  
 ・計算手順の例 (支間傾斜無し)
  ・両端単純支持、両端間に支持点数1、各スパンに集中荷重 W1,W2
     モーメントは、単純支持にて M1= M3 =0,   3モーメント式IよりM2= ( i1BW - i2AW ) ・(2L1 + 2L2)-1
       但し、前述(ハ)より角度 i1BW= -a1b1(2a1+b1)・W1/L1、  i2AW = a2b2(a2+2b2)・W2/L2
     抗力は、(ハ)より、 R1=R1AW=b1W1/L1   R3=R2BW=a2W2/L2  R2は式J'を参照
     モーメントは、スパンNo1 x<a1: M=R1・x  x<a1: M=R1・x - W1
  ・両端固定、両端間に単純支持点数1、等分布荷重 ω
     式C'より  (2M1 + M2)・L1 / 6EI = i1 - i1W= -i1W    但し(ニ)より i1W = ωL13/24EI     -C"
     式B'より  (M2 + 2M3)・L2 / 6EI = -( i3- i3W) = i3W   但し(ニ)より i3W = -ωL23/24EI     -B"
     式Iより L16EI1M1 + (2L16EI1 +2L2 6EI2 )・M2 +L26EI2 ・M3 = i1BW - i2AW = -ω(L13 + L23)/24EI
            但し、(ニ)より  i1BW = -ωL13/24EI   i2AW = ωL23/24EI -I"
     上記の3連立方程式を解くことにより、各支持点での曲げモーメントが算出できる。
     なお、 L1=L2 の場合は、 M1 = M2 = M3 であり、1スパンが両端固定と等価である。 (→詳細説明)

 ・連続梁
   支点の番号をk=1,2・・・とし、各支点の右側スパンに同番号を付けて、上式Iより
    Lk6EI1Mk + (2Lk+16EIk+1 +2Lk+1 6EIk+1 )・Mk+1 +Lk+16EIk+1 ・Mk+2 =  ikBW - ik+1AW + ikD - ik+1D
 -I
 ・境界条件 (左端 No.0点について)
  (a)突出はり : M0 = M0W  例、突出長c の集中荷重Pは M0W = -P・c 、 Rは前述(1)(a) 図○を参照。
  (b)単純支持:  M0 = 0
  (c)固定   : 前述C'式より  M0 = 3EI・L0・i0AM - M12  及び i0AM = i0A - i0AW - i0AD

          従って、 M0 = - 3EI・L0・(i0A + i0AW   完全固定で i0A = 0 + i0AD) - M12
  右端No.n+1点での境界条件も同様である。

■沈下支点(弾性支持)
   沈下変位 yD [mm]   反力 R [kgf]   沈下係数 C [kgf/mm] とし、  yD = C・R ----- I
   (a)3モーメント式(前述H式)で算出
     Rk+1 = RkB + Rk+1A = RkBW + Rk+1AW + RkBM + Rk+1AM
          ここに、RkBW = -(Mk+1 - Mk)/Lk    RkAW = (Mk+1 - Mk)/Lk
     さらに、ikD = (ykB - ykA)/Lk = (Rk+1/kk+1 - Rk/kk)/L
     これらを3モーメント式の ikD、ik+1D 項へ代入して、  
     Cj,k-1Mk-1 + Cj,kMk + Cj,k+1Mk+1 + Cj,k+2Mk+2 + Cj,k+3Mk+3 = ikBW - ik+1AW

       なお、
         Cj,k-1 = 1/(kkLk-1Lk)
         Cj,k  = -(1/Lk + 1/Lk+1)/(kk+1Lk) - (1/Lk-1 + 1/Lk)/(kkLk)
         Cj,k+1 = 1/(kkLk2) + (1/Lk + 1/Lk+1)/(kk+1Lk) + 1/(kk+2Lk+12)
         Cj,k+2 = -(1/Lk + 1/Lk+1)/(kk+1Lk+1) - (1/Lk+1 + 1/Lk+2)/(kk+2Lk+1)
         Cj,k+3 = 1/(kk+2Lk+1Lk+2)

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   (b)変位より算出(右図)
     δ = R / k --- (@)    δ = yW - yD = cW・q - cD・R   --- (A)
      (@)(A)より   R = cW・q・( 1k + cD)           ------- (B)
     但し、撓みの式(ハ)より yW = cW・q    cW = a・(L3 - 2a2・L - a3) / 24EI
                  yD = cD・R    cD = a・b・(L22 - a2) / (6EI・L)
   ★反力Rのみを算出の場合は、連続梁でのマトリックス解においても (b)の方式が可也簡単であるが、
    角度など諸要素をも求めるとなると(a)(b)に大差はない。
   ★不等断面のはりは、3モーメント法で近似的に計算できる。
    j番目の弾性支持ばね係数kj=0と置くことにより、ここが支点でなくなり、IEj-1 およびIEjに近似数値を
    入れる。( 最下図 [B](ハ) )



■外部モーメント
  ・単径間の式: 公式集 (モーメント荷重) を参照
  ・3モーメント法の留意点: モーメント荷重 MD が支点に作用の場合、支点の釣合いの式に下記2通りがある。
    (イ) M1B = M2A (前述のと同じ) とする モーメント荷重 (連続梁) を参照
    (ロ) M1B = M2A - M2D とする モーメント荷重 (支点上) を参照
  ・その他: モーメント荷重を受ける 不等断面梁 (単径間) を参照
追加 Date 2013-10-17 

■連立方程式(Matrix)の解法
 消去法(順次項目の消去)にて三角行列に変換し、更に対角行列に変換して、
 その対角の要素が解となる。
 対角の要素がゼロとなる場合は計算行の順序を入替える。

■連続はりのプログラムでの入力値(説明省略)


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